Giả sử rằng f {\displaystyle f} là một hàm thực liên tục, xác định trên một khoảng I {\displaystyle I} bất kì trên trục số thực. Nếu đạo hàm của f {\displaystyle f} tại mọi điểm trong của I {\displaystyle I} tồn tại và bằng 0, khi đó f {\displaystyle f} là hàm hằng.

Chứng minh: Giả sử rằng đạo hàm của f {\displaystyle f} tại mọi điểm trong của I {\displaystyle I} tồn tại và bằng 0. Đặt ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} là một khoảng mở bất kì trong I {\displaystyle I} . Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại một điểm c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} sao cho

f ( b ) − f ( a ) b − a = f ′ ( c ) = 0 {\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)=0}

Từ đó suy ra f ( b ) = f ( a ) {\displaystyle f(b)=f(a)} . Do đó f {\displaystyle f} là hàm hằng trên mọi khoảng con của I {\displaystyle I} , và vì vậy, nó là hàm hằng trên I {\displaystyle I} do tính liên tục.

Nhận xét:

• Tại các đầu của khoảng I {\displaystyle I} chỉ yêu cầu tính liên tục chứ không cần tính khả vi. Tính liên tục của f {\displaystyle f} không cần phải chỉ ra nếu như I {\displaystyle I} là một khoảng mở, vì từ sự tồn tại của đạo hàm trên khoảng mở ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} suy ra tính liên tục của f {\displaystyle f} trên khoảng đóng [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} .